Изучение вращательного движения твердого тела

Цель работы

    
Экспериментальная проверка основного уравнения вращательного движения твердого тела вокруг закрепленной оси.


Идея эксперимента

     В эксперименте исследуется вращательное движение закрепленной на оси системы тел, у которой может меняться момент инерции. Различные моменты внешних сил создается грузами, подвешенными на нити, намотанной на шкив.

Теория

     Основное уравнение вращательного движения твердого тела с моментом инерции J вокруг неподвижной оси z имеет вид

    (1.1)
где - угловое ускорение, M - момент внешних сил.
     Для экспериментального доказательства этого соотношения в работе используется маятник Обербека (рис.3). Он состоит из четырех стержней A и двух шкивов различного радиуса R1 и R2, укрепленных на одной горизонтальной оси. По стержням могут перемещаться и закрепляться в нужном положении четыре (по одному на каждом стержне) груза одинаковой массы m'. При помощи груза массы m, прикрепленного к концу намотанной на тот или иной шкив нити, маятник может приводиться во вращение.
     Пренебрегая силами трения и считая нить невесомой и нерастяжимой, можем написать: уравнение вращательного движения маятника
    (1.2)
уравнение поступательного движения груза на нити
    (1.3)
уравнение кинематической связи
    (1.4)
Здесь R - радиус шкива, T - натяжение нити, a - линейное ускорение груза массы m, g - ускорение свободного падения.
     Из системы уравнений (1.2-1.4) следует, что груз m должен двигаться с постоянным ускорением
    (1.5)
     Основное уравнение вращательного движения (1.1) было записано без учета момента сил трения в оси маятника и момента сил вязкого трения о воздух. Для доказательства правомерности такого подхода в процессе выполнения работы необходимо убедиться , что суммарный момент сил трения Mтр много меньше момента силы натяжения нити M , который равен:
    
     С учетом неравенства mR2 J можно записать, что M mgR.
     Оценить величину момента сил трения можно, если предположить, что он остается неизменным во время движения. При опускании груза m c отметки x0 на полную длину нити до отметки x3 и затем при последующем подъеме до отметки x4 изменение его потенциальной энергии будет равно работе силы трения, то есть
    
где Ф - полный угол поворота маятника Обербека. Причем
    
поэтому
    
     Таким образом, условие малости момента сил трения окончательно имеет вид
    (1.6)


Экспериментальная установка

     Установка для изучения вращательного движения (рис.4) или AVI (15.3M) состоит из основания (1), вертикальной колонны (2) с закрепленными на ней двумя подвижными кронштейнами (3,4), на которых крепятся оптические датчики положения. На колонне закреплены два неподвижных кронштейна (5,6).
     На нижнем кронштейне (5) закреплен двухступенчатый вал (7). На верхнем кронштейне (6) закреплен подшипниковый узел (8) и блок (9). Через блок перекинута нить (10), один конец которой намотан на двухступенчатый вал (7), а на втором конце закреплен груз (11). На двухступенчатом валу крепятся тело маятника (12).
     Кронштейны с фотодатчиками могут крепиться на разной высоте. Расстояние между этими кронштейнами измеряется по шкале, нанесенной на колонне. Время движения грузов определяют с помощью электронного таймера. Запуск таймера осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка - кнопкой «Стоп». При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих измерений убираются с табло таймера нажатием кнопки «Сброс».


Проведение эксперимента

Упражнение 1.    Проверка закона движения.

     Из (1.2-1.4) следует, что вращение маятника Обербека происходит с постоянным угловым ускорением , при этом груз m опускается с постоянным линейным ускорением a. Координата x груза, отпушенного без начальной скорости с отметки x0 меняется по закону (ось х системы координат направлена вниз (см. рис. 3))
    (1.7)
Используя (1.7), определим время t пролета груза между двумя отметками x1 и x2:
    (1.8)
Из (1.8) следует, что в случае равнопеременного движения (a=const) и фиксированных положений x0 и, x2 зависимость времени t от является линиейной и изображается на графике прямой линией.

Измерения

    

  1.    Установить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками
  2.    Установить грузы m' в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия. Начало движения груза m всегда осуществляют от одного и того же положения x0, которое необходимо записать в рабочий журнал. Нить наматывают на вал большего диаметра виток к витку.
  3.    Опустить груз m и произвести измерение времени t пролета груза m между фотодатчиками. Данные записать в таблицу 1.1 Провести измерения времени t для нескольких положений x1 верхнего датчика (рекомендуется менять x1 с шагом 5 см). Для каждого положения датчика измерения времени проводят не менее 3-х раз.
  4.    Для 5-7 первых опытов измерить значения x4 - отметки, до которой поднимается груз при вращении маятника в одну сторону. Результаты занести в табл. 1.1.
  5.    Определить значение x3 - максимальной отметки, до которой опускается груз m при своем движении.
Таблица 1.1
  N   x1i   x4     tij  < tij >  S< tij >  < x4 >  
1                          
2        
3        
4                    
5        
6        
7                    
8        
9        
10                    
11        
12        
13                    
14        
15        


Обработка результатов

  1.    По экспериментальным данным для каждого положения фотодатчика x1 рассчитать среднее значение величины ti по формуле
    
где N - число измерений при каждом фиксированном положении датчика.
  1.    Вычислить ошибку измерения (выборочное стандартное отклонение) < ti>
    
Результаты вычислений внести в табл. 1.1.
  1.    Построить зависимость t от , которая должна быть линиейной. Получившаяся линейная зависимость указывает на то, что движение тела является равнопеременным.
  2.    Найти среднее значение < x4 > и оценить величину по формуле (1.6). Убедиться в малости момента сил трения по сравнению с начальным моментом силы натяжения нити.


Упражнение 2.    Проверка независимости инерционных свойств маятника (момента инерции) от момента внешних сил.

     В данном упражнении экспериментально показывается, что инерционные свойства маятника, а именно - момент инерции - не зависят от момента внешних сил.
     Из уравнения (1.2) имеем
    (1.9)
Из уравнений (1.5), (1.8) следует, что
    (1.10)
     В уравнение (1.10) входят величины, определяемые экспериментально.

Измерения

    

  1.    Измерить штангенциркулем радиусы R1 и R2 шкивов, результаты, занести в рабочую тетрадь.
  2.    Устаноновить максимальное расстояние между кронштейнами с фотодатчиками. Занести в рабочий журнал координаты фотодатчиков x1, x2 и значение x0.
  3.    Установить грузы m' в среднее положение, разместив их на равном расстоянии от оси таким образом, чтобы маятник находился в положении безразличного равновесия.
  4.    На конец нити, намотанной на шкив радиуса R1, прикрепить груз массы m1 и измерить время прохождения груза между двумя фотодатчиками t. Одновременно измерить x4- отметку, до которой поднимается груз. Измерение провести 3 раза. и результаты внести в табл.1.2.
  5.    Перебросить нить на другой шкив (радиуса R2). и измерить время t и значение x4 (3 раза). Результаты внести в табл. 1.2.
  6.    Провести аналогичные измерения (п.4-п.5), прикрепив к концу нити груз массы m2. Результаты измерений занести в табл.1.2.
Таблица 1.2
  Комбинации
значений
радиусов
шкивов и
масс при
измерениях 		  N   tij   x4   < tij > , S< tij >   Ji , SJi  < x4 >  
R1 , m1 1                    
2        
3        
R2 , m1 4                    
5        
6        
R1 , m2 7                    
8        
9        
R2 , m2 10                    
11        
12        


Обработка результатов

  1.    По экспериментальным данным вычислить средние значения величин t и ошибки их измерений для четырех различных опытов. Результаты вычислений внесети в табл.1.2.
  2.    Вычислить значения моментов инерции J1:J4 по формуле (1.10).
  3.    Определить значение < x4 > для каждого опыта.
  4.    Найти отношение аналогично тому, как это было сделано в упр.1. Результаты внести в табл. 1.2.
  5.    Произвести оценку погрешностей полученных результатов. В связи с тем, что экспериментальные значения Ji являются результатом косвенных измерений, то стандартное отклонение функции нескольких независимых переменных находится через ошибки прямых измерений по формуле для ошибки косвенных измерений.
  6.    Проанализировать полученный результат. Для этого отметить значения моментов инерции J1:J4 с учетом погрешностей на числовых осях (рис.5), выбирая Ji=SJi. Пересечение этих областей будет указывать на выполнение соотношения (1.9) , что свидетельствеут о независимости инерционных свойств маятника от момента внешних сил.






Упражнение 3.    Проверка основного уравнения вращательного движения и теоремы Гюйгенса-Штейнера.

     Пусть J0' - суммарный момент инерции четырех грузов с массами M' относительно осей, проходящих через их центры масс. При удалении центров грузов на расстояние l=l1, от оси вращения (см. рис. 3), согласно теореме Гюйгенса - Штейнера , момент инерции будет равен J1'
    (1.11)
Если J0 - момент инерции маятника без грузов, то полный момент инерции маятника будет равен
    (1.12)
     При удалении центров масс грузов на расстояние l2 соответственно имеем
    (1.13)
     С учетом уравнений (1.2)-(1.4) и (1.10) зависимость квадрата времени пролета груза между двумя отметками x1 и x2 от расстояния центра грузов m' от оси вращения l имеет вид
    (1.14)
     Если l1>l2 , то
    (1.15)
     Уравнения (1.14)-и (1.15) дают
    (1.16)
где t1 , t2 - времена пролета груза между датчиками для случаев l=l1 и l=l2 соответственно.
     В это уравнение входят величины, определяемые экспериментально.

Измерения

    

  1.    На конец нити, намотанной на шкив радиуса R2 (большего по размеру), прикрепить груз наибольшей массы. Фотодатчики оставить в том же положении, что и в упражнении 2.
  2.    Установить минимальное значение момента инерции маятника. Для этого грузы m' установить в положение, наиболее близкое к оси. Измерить расстояние от грузов до оси. Занести это значение в табл 1.3.
  3.    Определить величину t. - время прохождения груза m между двумя фотодатчиками и x4 - отметку, до которой он поднимается в процессе движения.Измерения проводят 3 раза. Результаты заносят в табл.1.3.
  4.    Изменяя положение грузов m' на стержнях с шагом 3 см, каждый раз измеряют время t. Результаты измерения и соответствующие им расстояния l от оси маятника до центров грузов записать в табл.1.3 . Одновременно для каждого опыта измеряют и заносят в табл. 1.3 значения величины x4 .
Таблица 1.3
  N   ( #tij )   x4   < ti > , S< ti >   ( ti )2 , S( ti ) 2    l     l2   < x4 >  
1                          
2              
3              
....


Обработка результатов

  1.    По экспериментальным данным для каждого положения грузов m' найти средние значения величин ti.
  2.    Вычислить погрешности измерения ti и ( ti)2.
  3.    Построить график зависимости квадрата времени опускания груза ( ti)2. от l2, - это должна быть прямая линия.
  4.    Проверить соотношение (1.16) для нескольких пар значений t2 и l2.
  5.    Для каждого момента инерции определить < x4 > и отношение . Убедиться в выполнении приближения .

Основные итоги работы

     В результате выполнения работы должна быть осуществлена экспериментальная проверка выполнения основного уравнения вращательного движения - уравнения моментов. Должны быть проверены соотношения (1.9) и (1.16) и установлена линейная ( t)2 зависимость от l2.

Контрольные вопросы

  1. Что такое абсолютно твердое тело? Сколько степеней свободы имеет твердое тело? Сколько независимых скалярных уравнений требуется для описания движения твердого тела?

  2. Почему угловая скорость является вектором? Куда направлен этот вектор?

  3. Что такое момент силы относительно некоторой точки? Куда он направлен? Что такое момент силы относительно закрепленной оси?

  4. Что такое момент импульса системы тел?

  5. Что такое момент инерции тела относительно закрепленной оси?

  6. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

  7. Как получить уравнение моментов и основное уравнение вращательного движения относительно закрепленной оси?

Литература

  1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1986, § 31,32,34.

  2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика,3-е изд. M.: Наука.1989, § 30,35.

  3. Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка результатов эксперимента в лабораториях общего физического практикума. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977.