Плотность вероятности

Рассмотрение вероятностных проблем в случае непрерывной переменной и легко свести к более простому случаю, когда переменная принимает дискретные значения и является, таким образом, счетной. Для этого всю область изменения переменной и следует разбить на бесконечно малые и равные интервалы величиной δи (бины). Каждый такой интервал обозначается соответствующим индексом i. Значение и в этом интервале обозначим через и_i, а вероятность того, что и лежит в этом интервале, через Р_i или Р(и_i). Такая операция дает нам возможность иметь дело со счетным числом значений переменной u_i; каждое такое значение отвечает одному из интервалов i =1, 2, 3, ...

Рис.4. Разбиение непрерывной переменной на дискретные интервалы δи (бины). Макроскопически малый интервал du включает достаточно много бинов, но является настолько малым, что изменением функции Р(и_i) на этом интервале можно пренебречь.

 Вероятность dP того, что переменная и находится в интервале значений между u и и + du будет равна сумме вероятностей Р(и_i) для всех и_i которые входят в этот интервал. Если du достаточно мало, то изменением функции Р(и_i) на этом интервале можно пренебречь и считать, что все Р(и_i) равны и имеют значение, которое мы обозначим Р. Тогда искомая вероятность dP = Рm, где m=du/δи – число бинов, входящих в рассматриваемый интервал. Т.к. dP пропорциональна величине du, то ее можно записать в виде dP = f(u)du, где f(u) называется плотностью вероятности и не зависит от величины интервала du. Следует отметить, что вероятность того, что переменная и находится в интервале значений между u и и + du  равна площади под кривой f(u) ограниченной интервалом du:   dP = f(u)du. Это справедливо и для конечного интервала - вероятность того, что переменная и находится в интервале значений от a до b равна площади под кривой f(u) ограниченной этим интервалом: .

Очевидно, что соотношения между вероятностями, полученные в случае дискретных переменных, остаются в силе и для переменных, принимающих непрерывные значения,  если суммы, которые входят в эти формулы заменить на интегралы: