Рассмотрим в качестве примера
дискретной случайной величины,
количество очков n, которое выпадает при бросании игральной кости. Ниже
представлен результат бросания десяти игральных костей (или
N=10 бросаний одной кости). Результаты опыта удобно представить в виде
графика - гистограммы. Для построения гистограммы область значений
случайной величины (ось X) разбивают на одинаковые интервалы (бины),
а по оси Y откладывают
Ni
- количество попаданий случайной
величины в i-ый интервал .
редставленная на рисунке комбинация кубиков является выборкой - одной из
многих возможных реализаций опыта. Вычислим по данной выборке среднее количество
очков выпадающее на одном кубике (выборочное среднее)
n
и среднеквадратичное отклонение от среднего (выборочное
стандартное отклонение):
 |
 |
|
Рис.1. Результаты опыта в виде гистограммы |
где
|
Учитывая, что P(1)=1/10, P(2)=2/10, P(3)=1/10, P(4)=1/10, P(5)=3/10, P(6)=2/10, получаем: n = 2.9, σ = 1.74. Величина P(ni) показывает в скольких случаях из N возможных выпадает ni и при N→ ∞ будет равна P(n) - вероятности получить n. Таким образом при N→ ∞ выборочные значения стремятся к своим предельным значениям, которые и будут соответственно вероятностью, средним значением и стандартным отклонением.
Пример: для идеального кубика все грани равновероятны, поэтому для любой грани вероятность равна 1/6. Именно к этому значению будет стремиться P(ni) при N→ ∞.
|
Рис.2. Нормированная гистограмма |
Рис.3. Распределение вероятности P(n) |
На рис.2 показана нормированная гистограмма, у которой по оси Y отложены значения P(ni). При N→ ∞ эта гистограмма показывает распределение вероятности, которое характеризуется функцией P(n) (рис.3), определяющей вероятность появления значения n дискретной случайной величины. С помощью этой функции можно найти вероятность появления значения n в некотором интервале, например от n1 до n2. Эта вероятность равна сумме вероятностей P(n) для всех значений n, лежащих в заданном интервале
Если интервал включает все возможные значения n, то эта вероятность равна единице, так как в результате опыта обязательно появится одно из возможных значений n. Таким образом сумма P(n) по всем значениям n равна единице
Это соотношение называется условием нормировки.
